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二重积分

多变量函数的积分学

张瑞

中国科学技术大学数学科学学院

rui [at] ustc [dot] edu [dot] cn

二重积分

1. 二重积分

1.1. 二重积分概念和性质

1.2. 二重积分的累次积分法

1.3. 极坐标代换

1.4. 二重积分的换元公式

1.5. 广义二重积分

1.6. 目录

二重积分概念和性质

仿照一维情形下求曲边梯形的面积，可以求解空间中以平面上有界矩形区域为底，为曲顶的柱体的体积。

将平面矩形区域分割成互不重叠的小矩阵,

, 。

在内任取一点， 则曲顶小柱体的近似体积为

其中为的面积

所有这些近似小柱体的体积和为

当越分越细时，的极限就是曲顶柱体的体积。

定义 1.

设，是上的一个函数。作和的分割：

两组平行直线将分割成个二维子区间

这样，就得到的一个分割，记为，

为分割的宽度。

在中任取一点，用表示这样一组取值，做Riemann和(或称为积分和)

其中, , ,

若存在实数，使得, ，当时，满足

则称二元函数在二维闭区间上Riemann可积，

而

称为在上的二重积分，记为

称为被积函数，为积分区间，为被积表达式，为面积元。

定义 2.

是有界集上的函数，取二维闭区间，做的零延拓

若在上可积，则称f(x,y)在D上可积，

并称为f(x,y)在D上的二重积分，记为

这样定义的二重积分与闭区间的选取无关。

几何上看，就是以上的函数为顶的曲顶柱体的体积，它与一元定积分是一样的。

物理上看，是面积为的薄板的密度函数，则二重积分就是薄板的质量。

定义 3.

设是有界的平面点集，如果上取值为的常值函数可积，

则称是有面积的，并称

为的面积。

定理 1.

有界平面点集是有面积的的面积为。

特别地，由有限条分段光滑曲线围成的区域或闭域是有面积的

定理不做证明。

以后，总假定积分区域是由有限条分段光滑曲线围成的区域。

定理 2.

是由有限条分段光滑曲线围成的区域，是上的函数。

若在上可积，则在上有界；

若有界函数的不连续点分布在中的有限条光滑曲线上，则在上可积；

若有界函数，是上的函数，且的点分布在有限条光滑曲线上，则和在上有相同的可积性。当它们可积时，有

定理 3.

是由有限条分段光滑曲线围成的区域，, 是上的可积函数。

（线性）对任意常数, 和在上可积，且

（乘积） 在上可积

（保序性）若在上，则

（绝对可积性）在上可积，且有

定理 4.

, 是由有限条分段光滑曲线围成的区域，且。

函数在, 上都可积。

则在上可积，且

定理 5. (积分中值定理)

在闭域中连续，则存在, 使得

其中是的面积。

定理 6.

是有面积的平面点集，为上的函数，

那么在上可积且积分等于的充要条件是，

对, ，

将分割为有限个内部互不相交的有面积的小块

,,,，记

为的直径，

只要分割的宽度满足，

对就有

二重积分的累次积分法

函数在二维闭区间上可积。

把二重积分看做是以为底、

为顶的曲顶柱体的体积，则

这个体积也可以用截面积的积分来计算。

若用垂直于轴的平面截柱体得到的截面积为，

则柱体的体积为

可以得到

这样，柱体的体积用截面积的积分表示为

定理 7. (Fubini定理)

函数在二维闭区间上可积。

如果对每个，作为的函数在上可积，记

则在上可积，且有

如果对每个，作为的函数在上可积，记

则在上可积，且有

证明： 由函数在上可积，则

，由

存在，当时，对任意成立

注意到，对于， 是

在上的Riemann和。

若对每个y，f(x,y)作为x的函数在[a,b]上可积，

记积分值为，则

对式取极限，则有

对，成立。

因此，在上可积，且积分为。

定理表明，二维区域上函数的二重积分，可化为先对一个变量的积分，再对另一个变量的积分。

这种积分过程称为累次积分。

几何上看，面包的体积，可以分为切片面包的体积来表示。

物理上看，薄板的质量，可以分为一些细长条来计算。

例 1. (例7.1.1) 计算二重积分

，则

若，则记，则

从而

有

例 2. 为闭区间上的连续函数，则有

等号成立当且仅当为常数

积分区域是曲边的情形

I型区域是由曲线, 和直线, 围成

的区域，即

定理 8.

I型区域

其中, 为连续函数。在上可积，

且对于，积分

存在，则

证明：

定理 9.

II型区域

其中, 为连续函数。在上可积，

且对于，积分

存在，则

例 3. (例7.1.3) 计算累次积分

例 4. 画出计算积分区域，改写计算顺序

例 5. 交换积分顺序

例 6. 画出计算积分区域，改写计算顺序

例 7. (例7.1.5) 计算由两个圆柱面与所围成的立体的体积

极坐标代换

例 8. 计算积分

其中是以原点为圆心的单位圆盘

解. 用累次积分来解

不容易求解

换用极坐标： 对区域圆的弧度和径向做分割

则每一小块的面积

Riemann和为

可以取

Riemann和为

取极限后，有

对于函数

取极坐标变换

则有

用极坐标表示积分区域，可以

先求的范围

再求的函数

例 9. 求

解. 可以看到，,

例 10. 求

例 11. 球体被圆柱面 所截得部分的体积

例 12. (例7.1.10) 求

例 13. 求

其中由 围成

二重积分的换元公式

为平面上的有界区域，为上的可积函数。

为平面上的区域，为一一的映射，

，

则为上的可积函数

对平面上有界区域进行矩形分割

它们对应的u曲线和v曲线把平面上的区域分割成小区域，

由于映射是一一对应，所以同族的曲线彼此不相交，而一条曲线和一条曲线也只有一个交点。

中的一个方块

对应到中，就是一个曲边四边形，它的面积近似一个平行四边形的面积，

把平面向量看作空间向量，则

曲边四边形的四个顶点坐标为

从而

略去高阶无穷小后，有

取，则Riemann和

取极限后，上式的两边分别为积分

定理 10.

设, 为由分段光滑曲线围成的区域，

， 为的一一映射，

且。

若为上的可积函数，

则

公式说明了区域的面积元素与的面积元素之间有如下关系：

如果变换为极坐标变量，, ，则

因此有

换元的关键在于，上的积分易于求解。

计算区域变得简单，或者积分易于得到。

例 14. 求椭球的体积

其中由 围成

解. 例 14

采用参数方程

例 15. 求积分

其中在第一象限中，由,

, 围成

例 16. 求

（1） 由， , 围成

（2） 由， , , 围成

例 17. 求，

（3） 由， , 围成

令

令

例 18. 求积分 ，其中由, , , 所围成（, ）

积分即为这4条抛物线围成的面积。

例 19. 求

例 20. 求

20.

令

则

例 21. 计算曲线围成的平面区域的面积

（1） ,

(2)

广义二重积分

定义 4.

设是定义在有界区域及上的非负函数。

在上的某些点的邻域中，无界（这种点叫作函数的瑕点）。

假定在内的任何闭区域上可积。

做中任一有界闭域列，

使得

如果

存在有限，且与闭域列的取法无关，那么称瑕积分是收敛的，

并规定瑕积分的值为

否则称在上的瑕积分发散。

例 22. (例7.1.15) ，计算

解. 令，则

定义 5.

设是定义在无界闭区域上的非负函数， 且在内的任意有界闭区域上可积。做中任一有界闭域列，使得及，如果

存在有限，且与闭域列的取法无关，那么称无穷积分是收敛的，

并规定无穷积分的值为

否则称在上的无穷积分发散。

例 23. (例7.1.16) 为第一象限，求

解. 取，则

定义 6.

在可正可负的情形下，令

若和在上的瑕积分(或无穷积分)都收敛，则称在上的瑕积分（或无穷积分）绝对收敛，并规定瑕积分（无穷积分）的值为

目录

1. 二重积分

1.1. 二重积分概念和性质

1.2. 二重积分的累次积分法

1.3. 极坐标代换

1.4. 二重积分的换元公式

1.5. 广义二重积分

1.6. 目录

谢谢

例 24. 本节读完

24.