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世界杯中不仅有有趣的排列组合问题

还有着复杂的构造问题

足球构造中的数学

传统的英式足球是由黑、白两色共32块皮革，采用蜂巢式缝制方法缝制而成。读到这，相信会有不少的读者的会问： 为什么是32块皮革？为此，先给大家解读一下传统足球的构造。

足球虽然是球体但实际上是由黑、白两色皮革勃合或缝制成的多面体加工而成的。其中 黑色皮为正五边形，白色皮为正六边形，表面之间具有下列特征：

①黑色皮周围都是白色皮；

②每两个相邻的多边形恰好有一条公共边；

③每个顶点都是三块皮的公共点，且为一黑二白。

依中学数学教材，简单多面体的顶点数、棱数及面数的关系为： V+F-E=2（欧拉定理）。

假设黑、白两色各有x，y块，则面数F=x+y；由于每条棱均为两个面的交线，所以棱数E=(5x+6y)/2；每个顶点均为三个面的公共点，所以顶点数V=(5x+6y)/3。由欧拉定理，有(x+y)+(5x+6y)/3-(5x+6y)/2=2（①）

又因为每块白色皮对应的六边形中有三条边与其他白色皮相连，剩余三条边与黑色皮相连，故6y/2=5x（②）

解①②式可得x=12,y=20，即黑色皮有12块，白色皮有20块。

我们知道，正多面体只有五种： 正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，这五种正多面体的顶点数均不是60，因此，都不是足球表面的结构。要想得到有60个顶点的多面体，可以采用把正多面体的顶角截下来的办法。

因为在截角时，每截下来原来的一个顶角，便会产生更多的顶角。通过尝试，发现对正二十面体利用平截的方法截角，可以实现这样的设想。在每个顶点的棱边的处将顶角截去，由于正二十面体有12个顶角，削去这12个顶角后，可使这12个平截的地方变成12个五边形，且剩下的面全变成六边形（一共有20个），最后得到的将是一个由12个五边形和20个六边形组成的三十二面体。它的顶点数为60，棱边数为90，面数为32，此为足球表面的多面体结构（如下所示）。

另外，12块正五边形和20块正六边形拼成一个完美无缺的“三十二面体”球面，象征着参加世界杯决赛的32支队伍从五大洲、四大洋汇聚在一起，共同交流文化、切磋球技、展示风采，并以此促进足球运动的不断发展。返回搜狐，查看更多